História rumov A.H. Riise sa začína písať už v roku 1838, kedy sa mladý lekárnik Albert Heinrich Riise rozhodol odsťahovať na novo kolonizovaný dánsky ostrov St. Thomas. Tam si otvoril aj s partnerom svoju prvú lekáreň, kde predával vlastné liečivá.
Albert mal vyvinutý zmysel pre kvalitu a bol priekopník v destilácii rumu a bitteru, vtedy využívané ako liečivá na črevné problémy. Mal obchodného ducha a jeho značky sa začali vyvážať aj do mnohých krajín. Taktiež angažoval do spoločenských funkcií. Bol predseda koloniálneho zboru, cirkevného zboru, výboru pre občanov, riaditeľ banky St. Thomas.
Umrel vo veku 72 rokov a svoje remeslo prenechal synovi Valdemarovi Riise.
Po čase sa Valdemarovi zhoršovalo zdravie a tak sa rozhodol celú spoločnosť a práva na výrobu populárneho Riise Bay Rum predať lekárnikovi O.V. Poulsenovi v roku 1913.